miércoles, 10 de febrero de 2010

Los problemas del millón de dolares

En las matemáticas no todos los problemas están resueltos. De hecho hay unos problemas de Hilbert, 23 que propusó David Hilbert en el congreso internacional de matemáticos de 1900 para ser resueltos en el siglo XX y ser considerados como influyentes en las matemáticas de ese siglo.

Si bien de esos 23 problemas, se resolvieron la mayoría en ese siglo, todavía quedan otros ,que han ido surgiendo y que por su complejidad siguen sin ser resueltos, a estos problemas se les llamó los problemas del milenio.

Estos problemas en principio eran ocho, pero Andrew Wiles se adelantó resolviendo antes del fin del siglo XX el último teorema de fermat. Así los problemas del milenio al final sólo fueron siete, y se hicieron bastante famosos cuando el instituto Clay anunció que recompensaría con un millón de doláres por problema resuelto.

Los siete problemas del milenio son:

P vs NP

Consiste en decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.
Las matemáticas actuales no poseen la suficiente capacidad para poder distinguir problemas de tipo P y NP, para los cuales es necesario desarrollar algoritmos bastante complejos. El problema en sí reside en que existen problemas que no pueden resolverse en tiempo polinomial en una máquina determinista, es decir, no son abarcables. La aritmética actual tiene límites a la hora de realizar algunos cálculos que ni los ordenadores más potentes pueden realizar en un tiempo "razonable", es decir, del orden de las n2 ó n3 operaciones. Sin embargo el carácter exponencial de algunos problemas hacen que actualmente su tratamiento sea inviable.
Se piensa que estos problemas podían estar relacionados con el teorema de incompletitud de Gödel. Según parece, ciertos enunciados matemáticos entre los que se incluyen los que se refieren a cotas inferiores de tiempo de cifrado no se pueden demostrar dentro del marco de la Aritmética de Peano, que es la forma estándar de la Aritmética.
Un ejemplo sería: Si queremos asignar 70 personas a 70 trabajos diferentes de forma que todas las personas tengan un trabajo y ninguna plaza quede vacante no sería difícil, para quien posea una mínima base matemática, establecer que la solución sería 70!. Sin embargo la resolución de este número sería equivalente a un número del orden de 10 elevado a la centésima potencia, lo que ni en la edad del universo podría resolverse computacionalmente este problema.
Hoy en día el estudio de este problema se plantea como la resolución o búsqueda de los límites en la computación.

La conjetura de Hodge

La conjetura de Hodge dice que para variedades algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos.

La conjetura de Poincaré (Ya explicada)


La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.

Existencia de Yang-Mills y del salto de masa

En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.

Las ecuaciones de Navier-Stokes: Parece ser que hay grandes avances.

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados. El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

Hace poco, se resolvió uno de ellos, concretamente la conjetura de Poincaré. Este problema fue resuelto por Grigori Perelman, además como consecuencia de esto se le otorgó la medalla Fields y el millón de doláres correspondiente, pero Perelman se negó a aceptarlos.